Ekuacionet e Albert Einstein

Formulimi i versionit gjeometrik, relativistik të efekteve të gravitetit çon tek çështja e burimit të gravitetit. Në gravitetin Njutoninan burimi është masa. Në relativitetin special, masa del të jetë pjesë e një madhësie me të përgjithshme të quajtur tensori i energji momentit i cili përfshin si dendësinë e energjisë ashtu edhe atë te vrullit si dhe stresin (pra, shtypjen dhe shkarjen). Duke përdorur parimin e ekuivalencës, ky tensor mund të përgjithësohet lehtësisht në hapësirë-kohën e kurbuar. Duke përdorur më tej analogjinë me gjeometrinë e gravitetit Njutonian, është e natyrshme të hipotezojmë se ekuacionet e Fushates  gravitetin e lidhin këtë tensor me tensorin e Riçit, i cili përshkruan një klasë të caktuar te efekteve valor : ndryshimi në volum për një re të vogël të thërrmijave prove që zakonisht janë në prehje, dhe me pas janë në rënie të lire. Në relativitetin special, konservimin e energjis  dhe momentit (impulsit) i korrespondon pohimit se tensori i energji-momentit është i lirenga divergjenca. Kjo formulë, gjithashtu, mund të përgjithësohet në hapësirë-kohën e kurbuar duke zëvendësuar derivatet pjesore me manifoldet e kurbura korresponduese, derivatet kovariante  studiuara në gjeometrinë diferenciale  Me këtë konditë shtese – divergjenca kovariante e tensorit të energji-momentit, dhe çfarëdo që është në anën tjetër të ekuacionit, është zero — bashkësia më e thjeshte e ekuacioneve janë ato që quhen ekuacionet (e fushës) të Ajnshtajnit :

Në anën e majtë kemi kombinimin specifik që është i lirë nga divergjenca të tensorit të Ricit  dhe metrikën e njohursi Tensori i Ajnshtajnit. Në veçanti,

është kurbatura skalare. Tensori i Ricit ne vetvete është i lidhur me tensorin e kurbaturës së Rimanit i cili është me i përgjithshëm nga relacioni

Në anën e djathte, T_ab kemi tensorin e energji-momentit. Të gjithë tensorët shkruhen në notacionin e indeksit abstrakt.Parashikimet e teorisë janë ballafaquar me rezultatet observuese për orbitat planetare (ose, për regjimin e gravitetit të dobët, limiti i shpejtësisë së ulet është ai i mekanikes Njutoniane), konstantja e proporcionalitetit mund të fiksohet si κ = 8πG/c⁴, me Gkonstantja gravitacionale  dhe c shpejtësia e dritës. Kur lënda nuk është e pranishme, në mënyre që tensori i energji momentit të zhduket marrim ekuacionet e Ajnshtajnit në vakum,

Ka disa alternativa te relativitetit te përgjishem  ndërtuara mbi të njëjtat premisa, të cilat përfshinë rregulla shtese dhe disa kondita të tjera, të cilat japin ekuacione të ndryshme të fushës. Shembuj janë teoria branz dicke,  teleparalelizmi dhe teoria  e Ajnshtajn-kartanit